Cos'è paradosso del barbiere?

Il Paradosso del Barbiere

Il paradosso del barbiere è un paradosso logico derivante dalla teoria degli insiemi. Fu reso popolare dal filosofo e logico Bertrand Russell nel 1918 come illustrazione del paradosso di Russell, che a sua volta dimostra che la teoria ingenuamente impostata degli insiemi conteneva delle contraddizioni.

Il paradosso può essere formulato nel seguente modo:

In un villaggio, c'è un solo barbiere. Questo barbiere rade tutti e solo gli uomini del villaggio che non si radono da soli. La domanda è: chi rade il barbiere?

Se il barbiere si rade da solo, allora non dovrebbe radersi, secondo la regola che rade solo coloro che non si radono da soli. Se il barbiere non si rade da solo, allora dovrebbe radersi, sempre secondo la regola che rade tutti coloro che non si radono da soli.

Quindi, se si rade, allora non si rade, e se non si rade, allora si rade. Questa è una contraddizione.

Formalizzazione:

Possiamo formalizzare il paradosso definendo un insieme R di tutti gli uomini che si radono da soli. Il barbiere appartiene a questo insieme oppure no?

• Se il barbiere appartiene a R, allora si rade da solo, e quindi non dovrebbe essere raso dal barbiere.
• Se il barbiere non appartiene a R, allora non si rade da solo, e quindi dovrebbe essere raso dal barbiere.

Implicazioni:

Il paradosso del barbiere evidenzia le limitazioni di una definita formulazione della teoria degli insiemi e ha contribuito allo sviluppo di nuove formulazioni più rigorose della teoria degli insiemi, come la teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel (ZFC), che evita questi paradossi introducendo assiomi specifici. La ZFC, ad esempio, impedisce la creazione di insiemi che sono "troppo grandi" o auto-referenziali in un modo che porterebbe a contraddizioni.